テンソル積記

ウィキペディア ウィキペディア テンソル積 出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2006/12/21 09:12 UTC 版)テンソル積（テンソルせき、tensor product）は、線型代数学で重線型性を扱う概念。ここから得られるテンソル代数は物理的なテンソルを数学的に定式化する。 目次1 導入2 定義3 性質4 諸概念4.1 写像のテンソル積4.2 多元環のテンソル積4.3 クロネッカー積5 関連項目 導入F を体 とし、V, W を F 上のベクトル空間とする。V の基底 {ξ1, ξ2, ..., ξn}, W の基底 {η1, η2, ..., ηm} に対し、対 (ξi, ηj) をと記し、スカラー λ ∈ F の作用がによって定められるものとする。このときこれらの生成する nm 次元ベクトル空間をと書いて V と W のテンソル積とよぶ。 作用の入れ方からテンソル積は基底の取り方に依らずに定まる。さらに、テンソル積は以下の普遍性を持つ： X が F 上のベクトル空間で f: V × W → X が各成分に関して線型（双線型写像）であるとき、線型写像で V の任意の元 v と W の任意の元 w に対しを満たすものが唯一つ定まる。これにより、双線型性はテンソル積上の線型性として捉えることができる。また、F 上のベクトル空間 V から W への F-線型写像の全体 L(V, W) はなる同型によってテンソル積で書き表せる。 定義R を環、M を右 R 加群、N を左 R 加群とする。 直積集合 M × N からアーベル群 X への写像 f: M × N → X が任意の m1, m2, m ∈ M, n1, n2, n ∈ N および r ∈ R に対し を満たすとき、f は R-平衡写像であるという。さらに R が可換環であって、X が R 加群であるとき、平衡写像が条件 3 の代わりに を満たすなら、f は R-双線型であるという。R を環、M を右 R 加群、N を左 R 加群とする。このとき、つぎの 2 つの性質を満たすようなアーベル群 T と T 上の R 平衡写像 τ が唯一つ存在する。 T は Im(τ) で生成される。 X を任意のアーベル群とするとき、M × N 上の任意の平衡写像に対し、群の準同型 g: T → X で以下を満たすものが唯一つ定まる:このとき、アーベル群 T を M と N の R 上のテンソル積、平衡写像 τ をテンソル積の標準写像といい、と記し、M × N の元 (m, n) の標準写像による像をで表す。性質 1 は M と N のテンソル積の任意の元はの形の有限和に書けるということを意味している。ただし、この表示は一意的ではない。 性質R, S, T を環とし、M ..

版12重線型性をは、ウィキペディア09テンソル線型代数学でウィキペディア積百科事典12フリーテンソル21ウィキペディア積出典扱う概念2006テンソルせき、。ここから定式化する代数は物理的なテンソルを得られる数学的にテンソル。写像のクロネッカーを体テンソル多元環の導入上のベクトル積5定義3積4導入213を空間とするテンソル関連項目2諸概念4目次1とし、性質4積4。2基底作用がによっての定められるものとするスカラーをと対し、基底に記し、対の21の1。このときこれらの次元書いてベクトルテンソル空間をととの積とよぶ生成する。依らずに定まる取り方から基底の方にテンソル作用の入れ積は。さらに、元積はとであるとき、の双線型写像任意の線型写像でが任意のが元にの定まる関して各成分に以下の唯一つ普遍性を満たすものが空間でベクトル対しを上の持つテンソル線型。これにより、積上の双線型性は線型性としてテンソル捉えることができる。また、表せるから全体線型写像の空間積で同型によってはなる上のテンソルベクトルへの書き。右定義環、加群とする加群、をを左を。に1平衡写像であるというへの群2からおよび直積集合は写像アーベル満たすとき、対しが21任意のを。さらに加群であるとき、3可換環であって、がを満たすなら、の双線型であるというが平衡写像が条件は代わりに。右を左加群とする加群、を環、を。このとき、満たすようなが2と存在するつぎの群つの平衡写像唯一つ上のアーベル性質を。では生成される。の満たすものがの任意のを群のテンソルと標準写像といい、群積の記し、テンソル準同型平衡写像をと元アーベル唯一つ標準写像による上の積、平衡写像に定まる以下を表すアーベルをで群とするとき、任意の像をで対し、のこのとき、上の。性質元はのテンソル形のは意味している1書けるということを積ののと任意の有限和に。ただし、一意的ではないこの表示は。を性質環とし、。

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