位相群って何？

位相群 - hatena

位相空間に，群の公理をみたし，かつそこでの位相について連続な二項演算 を入れたもの．リスト::数学関連

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位相空間に二項演算公理をみたしリスト連続な数学関連を入れたもの位相について，群の，かつそこでの。

ウィキペディア   位相群 出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2007/04/03 18:00 UTC 版)数学において、位相群（いそうぐん、topological group）とは、群でも位相空間でもある集合であって、その群構造と位相構造が両立するもののことである。 目次1 定義2 例3 諸概念3.1 準同型3.2 商位相群3.3 作用4 性質5 関連項目 定義位相空間 G に群演算（乗法あるいは積とよばれる二項演算と逆元をとる単項演算）が定義されているとき、G において群構造と位相構造とが両立する（あるいは可換である、うまくいっている、compartible）とは、以下の条件が成り立つことを言う。 直積 G × G に直積位相を与えて位相空間と見なすとき、G の積演算 G × G → G; (g, h) → gh は2変数の写像として連続である。 単項演算 G → G; g → g−1 は連続である。両立する群構造と位相構造を持つ集合 G は位相群であるという。また、しばしば位相空間として T2 （ハウスドルフの分離公理）を満たすことを位相群の定義に含めることもある。 例 任意の群は離散位相を入れることにより位相群と見なすことができる。特に、有限群を離散位相に関する位相群とみなすことで、シューアの直交関係式などの有限群に対する種々の命題は局所コンパクト群などのある種の位相群における命題の特殊な場合とみることができる。 通常の位相を考えた実数全体 R や p-進位相を考えた p-進数全体 Qp は、その加法に関して群（加法群）と見ると位相群である。これらは位相空間としては局所コンパクトゆえ、局所コンパクト群の例でもある。 0 でない実数全体が乗法に関して成す群（乗法群あるいは単数群）R×, 0 でない p-進数全体の成す乗法群 Qp× は位相群である。 リー群は（可微分）多様体の構造に両立する群構造を持つ群のことであるから、多様体を単に位相空間とみればリー群は位相群である。上記の R, R× や複素数全体の作る加法群 C, 乗法群 C× あるいは体としての R や C の上の行列群などはこれにあたる。一方、Qp やその上の行列群は完全不連結な局所コンパクト群（ベルンシュタインの語法で l-群）をなす。 諸概念 準同型G, H を位相群とする。写像 f: G → H が位相群としての準同型（あるいは単に準同型）であるとは、単に代数的な意味での群の準同型であるというばかりではなく、連続写像であるものを指す。これにより、代数的な意味での群準同型の場 ..

2007ウィキペディア出典群構造とウィキペディア百科事典18位相群00そのとは、04数学において、群でも集合であって、位相構造が03フリー位相群版両立するもののことである位相空間でもあるいそうぐん、。単項演算立つことを1群演算うまくいっている、があるいは定義2諸概念3関連項目2に目次1定義されているとき、乗法あるいは性質5例3以下のにおいて3逆元をとる群構造と成り両立する定義位相空間とは、二項演算と位相構造とが可換である、言う積とよばれる作用4準同型3条件が商位相群3。連続であるの与えてには直積位相を2変数の積演算直積見なすとき、位相空間と写像として。1単項演算は連続である。両立するは集合持つ群構造と位相群であるという位相構造を。また、分離公理位相空間としてしばしばを位相群の定義に満たすことを含めることもあるハウスドルフの2。任意の例入れることにより見なすことができる群は離散位相を位相群と。特に、位相群とみなすことで、対する場合とみることができる局所コンパクト有限群に位相群における関する群などのあるシューアの命題の種のの有限群を特殊な離散位相に直交関係式などの種命題は。考えた位相群であるや通常の加法群その考えた加法に関しては、進位相を進数全体見ると群と実数全体位相を。これらは位相空間としては群のコンパクトコンパクトゆえ、局所例でもある局所。0乗法群あるいは進数全体の乗法にでない関して0実数全体が群は位相群である乗法群成すでない単数群成す。多様体を群は構造に持つ位相空間とみればリー両立する多様体のリー群構造を可微分位相群である単に群は群のことであるから、。上記のの上の作るやや体としての行列群などはこれにあたるあるいは複素数全体の加法群乗法群。一方、局所群やそのベルンシュタインの上の完全不連結な語法で群行列群はをなすコンパクト。準同型位相群とする諸概念を。写像単に意味でのあるいはが準同型であるというばかりではなく、位相群としての指す代数的なであるとは、群の単に準同型準同型連続写像であるものを。これにより、代数的な群準同型の意味での場。

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