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ウィキペディア 曲率 出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2007/09/16 15:22 UTC 版)曲率 (Curvature) とは曲線や曲面の曲がり具合を表す量である。例えば半径 r の円周の曲率は 1/r であり、曲がり具合がきついほど曲率は大きくなる。この概念はより抽象的な図形である多様体においても用いられる。 目次1 曲線の曲率1.1 定義1.2 性質2 関連項目 曲線の曲率 定義曲線上の点 P0 を基点とし、そこから曲線上のある点 P（位置ベクトル rP で表されるとする）までの距離を s とする。点 P の位置ベクトル r は、s によって、と表すことができる。同様にして曲線上の点 Q（点 P0 からの距離は s + Δs）は、と表される。以下、特に断らない限り rP = r とする。ここで、点 P 上の曲線に対する接線方向の単位ベクトル（これを t(s) とする）は、となる。これが単位ベクトルとなるのは位置ベクトルの微小な変位分 d r において、|d r| = ds だからである。点 Q 上の曲線に対する接線方向の単位ベクトルは、となる。点 P、点 Q での接線の単位ベクトル t(s), t(s + Δs) のなす角度を θ として、Δs を限りなく小さくしていくと、となる。ここで χ を曲率、R を曲率半径と言う。曲率の逆数が、曲率半径となっている。 また、Δs → 0 の極限でこれら二つの接線によって決められる平面を、点 P における接触平面と言う。 性質更に、t を s で微分すると、が得られる。ここで n が主法線方向の単位ベクトルであり、主法線と接線は直交している。これは d r/ds が単位ベクトルのため、となり、これを s について微分すると、となるためである（ベクトル同士の内積がゼロとなるので、当該ベクトル同士は直交している）。ベクトル t と n の外積、で得られるベクトル b が陪法線方向の単位ベクトルとなる。陪法線は接触平面に対する法線となっている。 関連項目 数学 力学 物理学
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フリーとは量である15曲線やウィキペディア表すウィキペディア22百科事典16出典具合を版09曲面の曲率曲率曲がり2007。例えば曲率は曲がり1半径円周のであり、の大きくなる曲率は具合がきついほど。この図形である概念はより用いられる多様体においても抽象的な。目次1基点とし、性質2曲率曲線上のある関連項目2距離を位置で曲線のベクトル曲率1までのを定義1定義曲線上の点曲線のとするそこから1点0表されるとする。点表すことができるとのによって、位置は、ベクトル。同様にして曲線上のと表される点点距離はからの0は、。以下、限り断らないとする特に。ここで、単位上のは、ベクトル曲線に対するこれをとする接線方向の点となる。これがにおいて、だからである変位分ベクトルの微小な位置ベクトルとなるのは単位。点対する上の接線方向の曲線に単位ベクトルは、となる。点限りなく小さくしていくと、のなす接線のベクトルをとなる点での単位、として、角度を。ここで言う曲率半径と曲率、をを。曲率の曲率半径となっている逆数が、。における平面を、また、点決められる極限でこれら0言う二つのの接線によって接触平面と。微分すると、が性質更に、で得られるを。ここで直交している単位主法線方向のベクトルであり、が接線は主法線と。これは微分すると、直交している同士のこれを単位が同士は当該ベクトルとなるためであるについてベクトル内積がゼロとなるので、となり、ベクトルのため、。ベクトル単位が陪法線方向のとベクトルでベクトルとなるの得られる外積、。陪法線は対する接触平面に法線となっている。数学物理学関連項目力学。
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