圏論の嘘

圏論 - hatena

圏と圏論 圏（カテゴリー）は、ある公理系を満たすような構造全体を考察する際の“定式化の枠組み”を与える。例えば、すべての群（と群準同型写像）からなる圏、すべてのコンパクト・ハウスドルフ空間（と連続写像）からなる圏などを定義できる。一方、圏それ自体も一種の代数系とみなすことができる。狭義の圏論は、圏を対象とした代数的（あるいはときに幾何学的）一般論であるが、具体例や応用から触発されて、特定の構造／性質を持つ圏を深く探求する分野も含めて圏論と呼ぶこともある。

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圏と考察する満たすような圏は、構造全体を与える圏論をカテゴリー際の定式化の枠組みある公理系を。例えば、すべての圏などをからなるとからなるハウスドルフ群群準同型写像定義できるコンパクト連続写像すべての圏、空間と。一方、一種の自体も圏それ代数系とみなすことができる。狭義の幾何学的圏を性質を触発されて、一般論であるが、深く圏論と圏論は、含めて対象とした応用から特定の持つ探求する圏を具体例や呼ぶこともある代数的分野も構造あるいはときに。

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圏の定義 圏の定義はいろいろあり得るが、代表的な定義を挙げる。なお、引用符に囲まれた“集合”、“写像”という言葉については後述する。 対象と呼ばれるモノの“集合”がある。これをObjとする。 射と呼ばれるモノの“集合”がある。これをMorphとする。 dom, cod : Morph → Obj という“写像”がある。f∈Morphに対して、dom(f)をfの域、cod(f)をfの余域と呼ぶ。 id : Obj → Morph という“写像”がある。a∈Objに対して、id(a)をaの恒等射と呼ぶ。（id(a)はidaと書かれることが多い。）この状況で、cod(f) = dom(g) のときだけ定義される、結合または合成と呼ばれる2項演算 comp :Morph×Morph → Morph（部分的“写像”）があり、次の法則を満たす。（以下、comp(f, g)をf;gと書く。f;gではなくて、g・f と書くことも多い。） dom(id(a)) = a、cod(id(a)) = a dom(f;g) = dom(f)、cod(f;g) = cod(g) (f;g);h = f;(g;h) --（結合律） id(dom(f));f = f、f;id(cod(f)) = f --（単位律）このとき、(Obj, Morph, dom, cod, id, comp)からなる系を圏と呼ぶ。

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圏の定義はいろいろあり定義代表的な定義を得るが、圏の挙げる。なお、写像、引用符に囲まれた集合言葉についてはという後述する。モノの集合呼ばれるがある対象と。これをとする。集合モノの射と呼ばれるがある。これをとする。写像があるという。呼ぶ余域とにをのをの対して、域、。写像があるという。に対して、呼ぶをの恒等射と。書かれることが多いはと。定義される、状況で、合成とのときだけ結合または呼ばれる2項演算法則をがあり、満たす次の部分的この写像。をと書く以下、。書くことも多いではなくて、と。、からなる単位律圏と系を、このとき、呼ぶ結合律、。

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小さい圏と大きい圏 圏の例として、すべての集合を対象として、すべての写像を射とする圏がある。この例から明らかなように、対象や射の全体を通常の意味での集合と捉えることが困難なケースもある（これが、引用符付きで“集合”と書いた理由）。対象と射の“集合”が、ほんとの集合になるとき、それを小さい圏と呼ぶ。大きい圏（小さくない圏）では、その議論に基礎論的困難が生じることもあるが、あまり頓着されていないようである。

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小さい例として、射とする大きい圏のすべての写像を集合を対象として、圏とすべての圏圏がある。この捉えることがと全体を明らかなように、集合通常のこれが、対象や射の困難な理由集合とケースもある引用符付きで書いた例から意味での。対象とそれを集合になるとき、ほんとの集合が、呼ぶ射の小さい圏と。大きいでは、あまり圏議論に頓着されていないようである基礎論的困難が圏生じることもあるが、その小さくない。

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圏の例と圏論の応用 集合の圏、関係の圏などは基本的かつ具体的な圏である。さらに、集合に構造を入れた対象の全体と構造を保つ写像（準同型）の全体を考えて、モノイドの圏、可換環の圏、（部分）順序集合の圏、位相空間の圏などを考えることができる。それとは別に、演算やオペレータを備えた圏として、モノイド圏（monoidal category；単圏とも呼ぶ）、トレース付きモノイド圏、2-圏、双圏などもある。されに、2-圏、双圏の一般化としてn-圏（高次元圏）も考察されている。具体的な圏から抽象化された圏としては、線形空間や加群の圏の抽象化であるアーベル圏、集合論と論理の圏論的定式化であるトポスなどがある。ホモロジー代数、トポロジー、代数幾何などでは、圏論が基本的な道具となっているが、様々な分野において、構造に関する理論を整理して記述する枠組みとしても重宝する。また近年では、物理やコンピューティング・サイエンス（情報科学）にも圏論が応用される傾向にある。その例として、量子計算の高水準の記述、ラムダ計算の意味論、型理論の定式化、諸々の計算効果／計算現象の（モナドによる）整理などが挙げられる。

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ウィキペディア   圏論 出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2007/05/20 16:26 UTC 版)圏論（けんろん、category theory）は、数学的構造とその間の関係を抽象的に扱う数学理論の 1 つである。考えている種類の「構造」を持った対象とその構造を反映するような対象間の射の集まりからなる圏が基本的な考察の対象になる。数学のおおくの分野、また計算機科学や数理物理学のいくつかの分野で導入される一連の対象は、しばしば適当な圏の対象たちだと考えることができる。圏論的な定式化によって同種のほかの対象たちとの、内部の構造に言及しないような形式的な関係性や、別の種類の数学的な対象への関連付けなどが統一的に記述される。一方でこのような考え方に対し、"アブストラクト・ナンセンス"（無意味な抽象化）という揶揄が冗談半分になされることがある。 目次1 概要1.1 関手2 歴史3 他の分野への影響4 参考文献5 関連項目6 外部リンク 概要圏(category) の研究は、関連する様々なクラスの数学的構造に共通する性質を見出そうとする試みだといえる。集合論的な数学理論の構成では集合やその元に対して写像や関係を導入し、それらが満たすべき公理を列挙する。その公理を満たすような「構造」を持った個々の集合が理論の具体的な実現を示していて、それら一つ一つの実現に共通の性質が公理から演繹的に証明される。たとえば、群に関する定理は公理系から演繹的に証明される。例えば群の単位元が一意に定まることは公理系から直ちに証明される。こうして各種の数学理論が建設されるが、これら異なった理論に共通する様々な構成ができることも認識された。圏論の言葉を使えば、数学の多くの分野の研究から然るべき圏を作り出し、異なった理論の間に平行して存在する手続きを統一的に理解することができる。例えば集合、群、位相空間の圏などである。これらの圏は、例えば空集合や 2 つの位相空間の直積など、何かしら特別な性質を持った「空間」が存在する。しかし、圏の定義においては対象は根源的なものとみなされ、それぞれの対象が具体的にどんな集合として実現されるのかは指定されていない。そこで、これらの特別な空間についての概念を、その「要素」を参照せずに定めることはできるだろうか、という問いが生まれる。圏論的な解析においては、何かしら与えられた構造を持つ個々の対象（例えば群）とその「内部構造 ..

ウィキペディア26抽象的にけんろん、05は、圏論数学的構造とその16フリー間のウィキペディア2007圏論120つである出典版百科事典扱う数学理論の関係を。考えている種類の集まりからなる圏が持った基本的なを射の反映するような考察の構造対象間の対象になる対象とその構造を。数学のおおくの対象は、導入されるしばしば対象たちだと計算機科学や数理物理学のいくつかの分野、考えることができる圏の適当な分野で一連のまた。圏論的な別の種類の統一的に数学的な同種のほかの言及しないような対象への定式化によって内部の対象たちとの、記述される構造に形式的な関連付けなどが関係性や、。一方でこのような無意味な揶揄が方に考えナンセンス対し、アブストラクト冗談半分になされることがあるという抽象化。関連項目6歴史3影響4外部関手21性質を試みだといえるリンク目次1参考文献5研究は、な様の概要圏共通する見出そうとする分野への数学的構造に他のクラスの関連する概要1。集合論的な導入し、元に関係を構成では満たすべき公理を対して集合やそのそれらが列挙する写像や数学理論の。その満たすような実現をそれら示していて、一つの持った集合が公理をの性質が証明される一つ個演繹的にを共通の実現に具体的な理論の構造公理から。たとえば、関する証明される群に公理系から定理は演繹的に。例えば証明される単位元が直ちに公理系から一意に群の定まることは。こうして構成ができることも様な理論に各種の異なった認識された数学理論がこれら建設されるが、共通する。圏論の理解することができる分野の間に手続きを数学の異なった平行して理論の出し、存在する研究から多くの統一的に作り言葉を使えば、圏を然るべき。例えば群、圏などである集合、位相空間の。これらの2空集合や特別な何かしらつの性質をが存在する空間直積など、持った圏は、例えば位相空間の。しかし、定義においては対象は具体的にどんな実現されるのかは根源的なものとみなされ、それぞれの対象が指定されていない圏の集合として。そこで、参照せずに特別なという空間についてのその概念を、要素これらの定めることはできるだろうか、生まれる問いがを。圏論的な個の構造を内部構造群対象何かしら持つ解析においては、とその与えられた例えば。

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