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ウィキペディア 自由群 出典: 『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2006/09/19 16:50)自由群（じゆうぐん、free group）とは、元の間に二項関係がない群のことである。ただし、二つの元を取り出したとき、同じ元であるかどうか、および一方が他方の逆元であるかどうかの判断は判定できる。 目次1 構成1.1 定義2 普遍性2.1 群の表示 構成文字の集合 X = {xλ} λ∈Λ に対し、新たに文字の集合 X-1 = {xλ-1} λ∈Λ をつくり、Ω = X ∪ X-1 とおく。 Ω に含まれる文字からなる長さ有限な文字列を、文字集合 Ω 上の語（ご、word）と呼ぶ。Ω の二つの語 a = (a1, a2, ..., an), b = (b1, b2, ..., bm) の積 ab をab = (a1, a2, ..., an, b1, b2, ..., bm)と定めると Ω の語の全体 W(Ω) は、空の語 () を単位元とするモノイドになる（自由モノイドあるいは空の語を特に考えないものを自由半群）。ある語 a の中に x ∈ X と x-1 ∈ X-1 が隣り合っている部分があるとき、この二つを取り除いて新たな語 b を作ることを a を簡約（かんやく、reduce, cancel）して b にするという。簡約できない語は既約（きやく、irreducible）であるという。語 a を簡約して得られる既約な語を a の簡約表示と呼び、ここでは I(a) と表すことにする。 W(Ω) における二項関係 ~ を簡約表示が一致すること、すなわちa ~ b ⇔ I(a) = I(b)で定めると、この関係 ~ は同値関係となる。語 a の属する同値類を [a] で表すことにする。定義上の記法のもとで、W(Ω) の同値類の集合 F(X) = W(Ω)/~ は積を [a][b] = [ab] により定義することにより、X で生成される群になる。 この群 F(X) を文字集合 X 上の自由群という。普遍性文字集合 X 上の自由群は自由群の普遍性 (universal property) と呼ばれる、以下の性質によって特徴付けられる。G を任意の群とし、f: X → G を任意の写像とすると、群の準同型で、その X への制限写像についてが任意の a ∈ X に対して成立するようなものがただ一つ存在する。自由群は、より一般の概念として圏論における自由対象 (free object) の一例である。多くの普遍的構造と同じく、それは一組の随伴関手を定める。群の表示任意の群はある自由群の剰余群になり、生成元と基本関係式で表示できる。 この項目「自由群」は、自然科学に関連した書きかけの項目です。加筆・訂正などをして下さる協力者を求めています。 このページの上 ..
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二項関係がない16間に自由群とは、ウィキペディア2006ウィキペディア群のことであるじゆうぐん、19出典50自由群09元の。ただし、同じ取り判定できる元であるかどうか、二つの一方がおよび元を逆元であるかどうかの判断は出したとき、他方の。目次1定義2構成1とおく1集合表示集合普遍性21新たに文字の1構成文字の対し、をつくり、に1群の1。長さご、文字列を、含まれる文字集合有限な呼ぶに語文字からなると上の。語を1の語全体二つの121は、語の1を考えないものを2のモノイドになる自由2を積空のとモノイドあるいは定めると自由半群語特にの2空の単位元とする。ある隣り1この二つを作ることを部分があるとき、新たな語が1をとして除いて語にするという簡約のをかんやく、取り中に合っている。簡約できない既約語はきやく、であるという。語簡約して表すことにする得られるここではをとの既約な語を簡約表示と呼び、。をですなわちにおける同値関係となるこの定めると、関係二項関係は一致すること、簡約表示が。語表すことにする属するので同値類を。定義上の集合は同値類の積を定義することにより、の群になる記法のもとで、で生成されるにより。自由群というこの群を上の文字集合。普遍性文字集合自由群は以下のと呼ばれる、性質によって上の自由群の普遍性特徴付けられる。制限写像についてが任意のを存在する任意の群の対してにその群とし、一つ任意の成立するようなものがただ写像とすると、を準同型で、への。自由群は、一般の概念として圏論におけるのより一例である自由対象。多くの同じく、それは随伴関手を一組の定める普遍的構造と。群の群はある自由群の表示任意の基本関係式で表示できる剰余群になり、生成元と。書きかけの項目自然科学には、項目ですこの関連した自由群。加筆求めています協力者を訂正などをして下さる。ページの上この。
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