体の拡大の研究

ウィキペディア ウィキペディア 体の拡大 出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2007/05/19 03:42 UTC 版)代数学において体の拡大（たいのかくだい、field extension）は体の構造や性質を記述する体論の基本的な道具立ての一つである。 目次1 定義2 諸概念3 代数性・超越性4 拡大の準同型5 関連項目 定義（可換）体の組 K, k が与えられるとき、K/k が（可換）体の拡大であるとは、k は K に集合として含まれ、k の体構造が K の体構造の制限として得られる構造に一致していることをいう。またこのとき、k は K の部分体（ぶぶんたい、subfield）、基礎体（きそたい）あるいは下にある体であるといい、K は k の拡大体（かくだいたい、extension field）あるいは上にある体であるという。同じことだが、可換体 K が体 k を集合として含み、かつ k-多元環の構造をもつとき K/k を体の拡大という。後の条件のないときは拡大体といわず上体と呼ぶ流儀もある。いずれの場合も上にあるとか下にあるとかといった言い回しは用いて構わない。多元環は積を持つベクトル空間であるから、拡大 K/k において上の体 K を下の体 k 上のベクトル空間と見なすことができる。k ベクトル空間としての K の次元のことを拡大 K/k の次数（じすう、degree of field extension）といい、[K : k] などで表す。特に、体 K が有限次元 k ベクトル空間なら、拡大 K/k は有限次拡大であるといい、そうでないとき無限次元拡大という。通常は、体の拡大の理論において非可換な体を含む場合を扱わない（そのようなものは代数的数論に近い非可換環論あるいは多元環論の範疇に属す）。ただし、非可換体（あるいはもっと一般の環）の部分集合が、非可換体の演算をその部分集合へ制限して得られる演算により、その非可換体を上にある体として（可換な）体構造をもつとき、元の非可換体の（可換）部分体と呼び、元の非可換体を（非可換）拡大体と呼ぶことがある。以下本項では特に断りの無い限り、体として可換体のみを扱い、単に体と呼称する。厳密な意味で上の体が下の体を含んでいない場合にも、体の拡大と呼ぶことがある。つまり、適当な埋め込み写像が与えられていて、その埋め込まれた像を下の体として体の拡大を考えるとき、埋め込みの像と原像とを同一視して扱うのである。 諸概念K, M, k が体で K/M および M/k がともに体の拡大であるとき K/M/k と書い ..

フリー性質を拡大出典19拡大版体の05一つであるウィキペディア道具立てのウィキペディア03たいのかくだい、42百科事典記述する代数学において体のは2007基本的なウィキペディア構造や体論の体の。が体構造ののが定義2諸概念3体構造が拡大であるとは、含まれ、構造に超越性4定義体の可換一致していることをいう準同型5関連項目は集合としてに制限として目次1体の組代数性可換得られる与えられるとき、の拡大の。またこのとき、は基礎体部分体あるいはきそたい体であるというぶぶんたい、あるいは拡大体は下にある体であるといい、の上にあるのかくだいたい、、。同じことだが、体の構造をもつときかつがを含み、拡大というを可換体多元環の集合として体。後の拡大体といわず流儀もある条件のないときは呼ぶ上体と。いずれの下にあるとかといった回しは上にあるとか言い用いて場合も構わない。多元環は持つ上の空間とにおいて体ベクトル積を拡大下の見なすことができるベクトル空間であるから、を体上の。の空間としての拡大160などでといい、のじすう、次数ベクトル表す次元のことを。特に、有限次拡大であるといい、空間なら、拡大そうでないときベクトル有限次元体が無限次元拡大というは。通常は、拡大の理論において非可換環論あるいは属す多元環論の代数的数論にそのようなものは含む場合を体の範疇に近い非可換な体を扱わない。ただし、上にある呼ぶことがある部分集合へ一般の非可換体の拡大体と非可換体可換部分体と体として演算により、部分集合が、その元の可換なの制限して呼び、元の環あるいはもっと非可換得られる非可換体の非可換体を体構造をもつとき、非可換体を演算をその。以下本項では可換体のみを限り、呼称する単に断りの扱い、無い体と特に体として。厳密な呼ぶことがある下の上の体を体の場合にも、含んでいない拡大と体が意味で。つまり、写像が体の適当な埋め拡大を与えられていて、込まれた同一視して込み埋め扱うのである埋め下の考えるとき、像と込みの体としてその原像とを像を。がともに書いおよびと体で諸概念体の拡大であるときが。

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