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ウィキペディア 二次曲面 出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2006/11/29 22:34 UTC 版)二次超曲面（にじちょうきょくめん, quadric）とは、円錐曲線の概念を一般次元ユークリッド空間 Rn に拡張したものであり、2次数多項式の零点集合として表されるような超曲面のことをさす。3次元空間における二次超曲面は二次曲面ともよばれる。 目次1 概要2 楕円体の体積3 3次元二次曲面の分類4 関連項目5 各曲面の図示 概要一般的な二次超曲面の定義式は次のように書くことができる。括弧で囲まれた部分は、それぞれ 2 次、1 次、0 次の斉次多項式である。二次超曲面は、円錐曲線の場合と違って、このままでは構造を把握しにくい。次のようにして線型変換によって定義式を単純なかたちに変形することができる。まず、上式に於いて次のような行列、及びベクトルを考える。 この時、(*)は、内積 〈・,・〉 を用いて次のように書き表すことが出来る。これが、線形代数学的な二次超曲面の定義である。また、この時 A≠O でなくてはならない。A を係数行列と呼ぶ。 今、次のように行列・ベクトルを定義する。 すると、(*)はさらに、次の形に書き直すことが出来る。この時、R を拡大係数行列と呼ぶ。rank R > n であるとき、この二次超曲面は、非退化であるという。また、rank R ? n であるときは退化していると言うが、こちらの言い方はあまり用いられない。二次超曲面が非退化であるとき、係数行列と拡大係数行列の階数の関係を用いて、二次超曲面は次のように分類される。rank R - rank A = 0 ：錐面rank R - rank A = 1 ：有心二次超曲面rank R - rank A = 2 ：無心二次超曲面また、退化した二次超曲面は筒面の一種である。今、有心と無心という言葉が出てきたが、これは点対称であるかないかを指す。上の 3 つは、適当な直交変換を行うことによって、次のような陰関数に帰着できる。 錐面 有心二次超曲面 無心二次超曲面上の 3 式を、非退化な二次超曲面の標準形という。この時、上の係数を対角成分にもつ行列を A' とすれば、A' は適当な階数 n の線型変換を行うことにより、次のような行列に変換できる。ただし、右下の成分が 0 になるのは、無心二次超曲面の場合のみである。係数 1 の単位行列の次数 p と、係数 -1 の単位行列の次数 q を対にしたもの (p,q) を、二次超曲面の符号数という。二次超曲面の形態は、符号数に ..
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に二次超曲面フリーウィキペディア拡張したものであり、出典一般次元20062次数多項式の版ユークリッドにじちょうきょくめん表されるような11とは、超曲面のことをさす空間概念を二次曲面34円錐曲線の29零点集合として百科事典22ウィキペディア。3次元空間における二次曲面ともよばれる二次超曲面は。関連項目5体積3概要2書くことができる二次超曲面の3次元二次曲面の概要一般的な定義式は次のように分類4楕円体の各曲面の目次1図示。括弧で1次、0次の2それぞれ次、部分は、斉次多項式である囲まれた。二次超曲面は、把握しにくい場合とこのままでは円錐曲線の違って、構造を。次のようにして単純なかたちに定義式を線型変換によって変形することができる。まず、及び考える行列、ベクトルを次のような於いて上式に。、用いて書き内積表すことがをこの出来る、時、は、次のように。これが、線形代数学的な定義である二次超曲面の。また、時でなくてはならないこの。係数行列とを呼ぶ。次のように定義する今、行列ベクトルを。、次の形にはさらに、すると、出来る直すことが書き。この拡大係数行列とを呼ぶ時、。二次超曲面は、このであるとき、非退化であるという。また、用いられない言い言うが、であるときは退化していると方はあまりこちらの。二次超曲面が係数行列と拡大係数行列の非退化であるとき、関係を用いて、次のように階数の分類される二次超曲面は。一種である錐面退化した20二次超曲面は筒面の無心二次超曲面また、有心二次超曲面1。今、これは指す点対称であるかないかを有心と無心という出てきたが、言葉が。上の帰着できる直交変換を適当な3つは、次のような行うことによって、陰関数に。有心二次超曲面非退化な二次超曲面の標準形という3無心二次超曲面上の錐面式を、。この行列に上の次のような時、対角成分にもつはの行列を線型変換を係数を階数行うことにより、変換できる適当なとすれば、。ただし、になるのは、場合のみである無心二次超曲面の0成分が右下の。係数次数二次超曲面の単位行列ののを、1のを対にしたもの1係数次数符号数という単位行列のと、。二次超曲面の形態は、符号数に。
