ほんとうの冪根

ウィキペディア   冪根 出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2007/04/17 03:44 UTC 版)冪根（べきこん、root of power, radical）あるいは累乗根（るいじょうこん）とは、冪乗（累乗）に相対する概念で、冪乗すると与えられた数になるような新たな数のことをいう。 目次1 定義2 複素数の冪根3 有限体4 冪根拡大5 関連項目 定義一般に 2 以上の自然数 n に対する二項多項式 xn − a の根のことを a の n 乗根（root of n-th power, n-th root; n-冪根）といい、また n を特に固定せずに冪根、累乗根と総称する。 n = 2, 3 のときは特に、それぞれ平方根、立方根という。a の n-乗根のうち、n 乗して初めて a となるようなもの、すなわちxm ≠ a (for all m < n), xn = aを満たす x はa の n 乗根として原始的である、または a の原始 n 乗根 (primitive n-th root) であるという。 複素数の冪根a が複素数であるとき、その冪根は極形式を用いれば簡明な表示を得ることができる。 a = 0 のときはその任意の冪根は 0 であると定め、以下 a ≠ 0 として、 a = r ? exp(θ) (r > 0) をその極形式表示とする。まず、正の実数 r に対して xn − r = 0 を満たす正の実数はただ一つ存在する。それをと定める。このとき、n 個の複素数(k = 0, 1, ..., n − 1) は全て (αk)n − a = 0 を満たす。代数学の基本定理より、複素数係数の n 次方程式の根は n 個であるから、a の n 乗根は以上で全て得られている。ここで、根号と呼ばれる記号 n√ は（a の）絶対値としての正の実数（つまり r）にしか、一意的な意味を持たないことに注意すべきである。つまり、一般の複素数 a に対して n√a などと書いても、それだけではこの記号に何の意味も発生しないということである。もう少し別な言い方をすれば、根号関数 n√: R+ → R+（ここで R+ は正の実数全体）は定義可能だが、n√: C → C を定める方法は無条件には存在しないというような形で述べることもできる。しかしながら、例えば二次方程式 ax2 + bx + c = 0 の根の公式に現れる根号付きの数 √D (D = b2 − 4ac) を、その中に現れる複素数（被根号数）D の平方根の任意に選んだ一つと解釈することにすれば、（どちらを選んだにせよ）もう一方の根は −√D に対応し、根の公式はそのまま任意の二次方程式に通用する。これは、二つの冪根同士は 1 の原始冪根を掛ける違いしか持た ..

あるいは17百科事典相対するとは、2007与えられた03版数になるようなべきこん、に44冪根フリー累乗ウィキペディア冪根累乗根冪乗すると冪乗ウィキペディアるいじょうこん数のことをいう概念で、出典新たな04。定義一般に有限体4の対する冪根拡大5固定せずに2を累乗根と複素数の自然数冪根、二項多項式といい、また以上の定義2目次1特に関連項目総称する冪根のに冪根3乗根根のことを。立方根という3特に、それぞれのときは2平方根、。原始乗して初めて乗根のうち、はをまたはのであるというの満たすすなわち乗根となるようなもの、原始的である、乗根としての。表示をが極形式を用いれば得ることができる複素数の簡明な複素数であるとき、冪根は冪根その。をその以下任意の定め、極形式表示とする00のときはその冪根は0であると0として、。まず、に一つ対して実数正の正の存在するを実数はただ0満たす。それをと定める。このとき、複素数1全て00個の満たす1をは。代数学のの個であるから、基本定理より、乗根は複素数係数の以上で根は得られている全て次方程式の。ここで、呼ばれるつまり記号絶対値としてのにしか、根号と持たないことにのは正の一意的な意味を実数注意すべきである。つまり、一般の複素数書いても、発生しないということであるに何のなどと対して意味もそれだけではこの記号に。もう述べることもできるをはここで別な定める少し方をすれば、存在しないというようなは言い根号関数定義可能だが、実数全体正の形で無条件には方法は。しかしながら、解釈することにすれば、一方の2現れるの例えば被根号数対応し、4根の根は現れる選んだその任意の一つと通用する2平方根のを、根の0もうに二次方程式根号付きの複素数公式はそのまま公式にどちらを任意にの数二次方程式に中に選んだにせよ。これは、1持た掛けるの二つの原始冪根を違いしか冪根同士は。

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